No tengo documentos que prueben la relación laboral, pero sí declaraciones de testigos, ¿puedo iniciar un proceso monitorio?

No. Si no puedes acreditar la deuda con algún documento adecuado para acudir a este procedimiento, tendrás que acudir al procedimiento que corresponda para celebrar un juicio, aportando de esta forma al juez o jueza, las pruebas de que dispongas (por ejemplo, la declaración de un testigo, etc.).